«Заснувшему» - ударение в слове
В указанном выше слове ударение падает на слог с первой буквой У — заснУвшему.
заснУвшему.
Заснувшему - образовано от слова заснуть
Примеры
Сон, заслуживающий удивления, приснился также гвардейцу, засну́вшему на карауле у входа в зверинец наследника Тутти. — Юрий Олеша, Сборник "Три толстяка"