«Увиваясь» - ударение в слове
В таком слове ударение должно быть поставлено на слог с буквой А — увивАясь.
увивАясь.
Увиваясь - образовано от слова увиваться
Примеры
Аш охотно проводил бы все свободное время в Пешаваре, увива́ясь около Белинды. — Мэри Маргарет Кей, Дворец ветров
Горлум кинулся к нему, как обрадованная собака, ластясь и увива́ясь у ног. — Джон Толкин, Властелин колец
Только какой же это порядок, Пистина Ивановна! – лебезил перед ней, увива́ясь, капитан. – Уж не знаю, когда и карты держал в руках. — Панас Мирный, Гулящая