«Переписываясь» - ударение в слове
В таком слове ударение следует ставить на слог с буквой И — перепИсываясь.
перепИсываясь.
Переписываясь - образовано от слова переписываться (писать друг другу)
Примеры
Я пробыл в отъезде около двух недель, регулярно перепи́сываясь с моей женой и с Мэриан. — Уильям Коллинз, Женщина в белом
Я таким образом сменила Шуазеля, перепи́сываясь с Вольтером»[16]. — Даниил Мордовцев, Державный плотник