«Отпрашивавшееся» - ударение в слове
В данном слове ударение следует ставить на слог с первой буквой А — отпрАшивавшееся.
отпрАшивавшееся.
Отпрашивавшееся - образовано от слова отпрашиваться
Примеры
Солдатами командовал лейтенант, юное существо, отпра́шивавшееся по вечерам у подчинённых на танцы. — Георгий Владимирович Пряхин, Хазарские сны, 2018