«Обегавшею» - ударение в слове
Слово обегавшею может употребляться в 2-х разных значениях:
1) обе́гавшею — если образовано от слова обегать (весь город)
В данном варианте ударение следует ставить на слог с первой буквой Е — обЕгавшею.
2) обега́вшею — если образовано от слова обегать (бежать вокруг чего-л.; посещать много мест)
В указанном выше варианте ударение должно быть поставлено на слог с буквой А — обегАвшею.