«Неунывающе» - ударение в слове
В таком слове ударение должно быть поставлено на слог с буквой А — неунывАюще.
неунывАюще.
Неунывающе - образовано от слова неунывающий
Примеры
И лишь круглые глазки смотрели на мир все так же по-ребячьи весело и неуныва́юще. — Анатолий Иванов, Вечный зов