«Квартироваться» - ударение в слове
В таком слове ударение ставят на слог с последней буквой А — квартировАться.
квартировАться.
Примеры
В общем, разговорила я добрую женщину, добилась расположения, а вслед за тем и разрешения квартирова́ться у ней на весь сезон. — Владимир Кузьмин, Звезда сыска, 2010